Standardavvik i rulett
Standardavviket i rulett, kvadratrota av variansenmatematikkVariansEit mål på kor breitt resultata spreier seg rundt forventningsverdien. Høg for enkelttal, låg for 1:1-innsatsar.Les heile →, er den typiske avstanden mellom eit resultat og forventninga.
Per satsa $1 er σ 5,84 for eit enkelttal og 1,00 for raudt. Multipliser med innsatsen og med kvadratrota av talet på spinn for å få verdien for ei økt.
Tommelfingerregel
Om lag to tredjedelar av øktene endar innanfor éin σ frå forventninga, og 95% innanfor to. For 100 spinn på raudtinnsatsRaudt1:1-innsats på dei 18 raude tala. Fransk: rouge.Les heile → med $10 (forventa −$27, σ = $100) endar dei fleste øktene mellom −$127 og +$73, og nesten alle mellom −$227 og +$173. Eit resultat utanfor det området er ikkje prov på noko anna enn at éi økt av tjue gjer det.
Kvifor √N
Forventa tapmatematikkForventa tapForventningsverdien gonger samla innsatsbeløp; det gjennomsnittlege beløpet som går tapt over ei økt eller ein periode.Les heile → veks i forhold til N; spreiinga veks i forhold til √N. For liten N dominerer spreiinga, og øktene er myntkast med ei lita slagside. For stor N spring tapet frå spreiinga. Skiljepunktet, der forventa tap er lik eitt standardavvikmatematikkStandardavvikKvadratrota av variansen; den typiske avstanden mellom eit resultat og forventningsverdien.Les heile →, ligg ved N = (σ/husfordel)² = (1/0,027)² ≈ 1 370 spinn for 1:1-innsatsar og (5,84/0,027)² ≈ 46 800 for enkelttalinnsatsEnkelttalEitt enkelt tal, betaler 35:1.Les heile →. Under desse tala avgjer flaksen; over dei avgjer husfordelen.
Slik bruker du det
For å vurdere om ei økt var uvanleg, rekn ut (resultat − EV)/σ. Ein spelar med $10 på raudt som endar 100 spinn på +$150, ligg på (150 + 27)/100 = 1,77σ, eit utfall på éin av 25: flaks, ikkje noko merkeleg. Ein spelar på enkelttal med same +$150 ligg på 0,3σ: ein vanleg kveld. Same resultatet i dollar tyder ulike ting på ulike innsatsar.
Standardfeilen til ein del
Same aritmetikken fortel kor mange spinn det trengst for å sjå husfordelen i dataa. Standardfeilen til ein observert gevinstdel er √(p(1 − p)/N). For raudt med N = 1 000: √(0,4865 × 0,5135 / 1000) ≈ 1,6%. Skilnaden mellom eit rettferdig myntkast og raudt er 1,35%, så etter 1 000 spinn kan du framleis ikkje skilje dei sikkert frå kvarandre. Etter 10 000 er standardfeilen 0,5%, og då kan du det. Dette er òg grunnen til at det trengst så mange spinn for å avsløre eit skeivt hjul.
Ei åtvaring om skeivfordeling
Resultat på enkelttal er langt frå normalfordelte i ei kort økt: dei fleste øktene er jamne −$10 per spinn med nokre hopp på +$350. Regelen om ±1σ skildrar spreiinga rett, men forma dårleg, til N er oppe i fleire hundre. For 1:1-innsatsarinnsats1:1-innsatsRaudt/svart, oddetal/partal, høg/låg. 18 tal, betaler 1:1.Les heile → er normaltilnærminga god frå om lag 30 spinn.
Formel
Spørsmål
Det er prov på at du spelte om lag 40 økter, eller var i den heldige éi av førti. Gjenta det.
Det svingar mindre og mindre: standardfeilen til gjennomsnittet er σ/√N. Ved N = 10 000 er han 1% av innsatsen.
Matte for moro skuld
Prøv sjølv først. Kvar løysing er bretta saman; opne ho når du er klar.
Over 100 spinn på eit europeisk hjul er éi einingpengarEiningGrunninnsatsen eit system eller ein spelar reknar i. Progresjonar blir skildra i einingar, slik at dei gjeld ved kva bord som helst.Les heile → på raudtinnsatsRaudt1:1-innsats på dei 18 raude tala. Fransk: rouge.Les heile → i pluss med minst 51 gevinstar, og éi eining på eit enkelttalinnsatsEnkelttalEitt enkelt tal, betaler 35:1.Les heile → er i pluss viss talet treffer minst 3 gonger. Bruk normalfordelingskurva til å anslå begge sannsyna, og samanlikn dei så med dei nøyaktige svara.
Vis løysinga
Svar Raudt: kurva gjev 35,6%, og det nøyaktige svaret er 35,5%. Enkelttalet: kurva gjev 55,0%, og det nøyaktige svaret er 50,9%. Snarvegen fungerer for raudt og bommar for det enkle talet.
Raudt: gevinstane er i gjennomsnitt 100 × 18/37 = 48,6, med eit standardavvik på √(100 × 18/37 × 19/37) = 5,0. I pluss tyder 51 eller fleire; midtpunktet, 50,5, ligg 0,37 standardavvik over gjennomsnittet, og kurva gjev 35,6% over det. Legg ein saman dei nøyaktige sannsyna for 51, 52 … 100 gevinstar, får ein 35,5%.
Enkelttal: treffa er i gjennomsnitt 100/37 = 2,70, med eit standardavvik på √(100 × 1/37 × 36/37) = 1,62. Tre eller fleire treff tyder over 2,5, 0,12 standardavvik under gjennomsnittet: 55,0% etter kurva. Nøyaktig er det 1 minus sannsyna for 0, 1 og 2 treff, 6,5% + 17,9% + 24,7%, som lèt 50,9% stå att.
Kurva treng mange resultat på begge sider av gjennomsnittet. Raudt har det etter 100 spinn; eit tal som i gjennomsnitt treffer færre enn tre gonger, har det ikkje. Kurva gjev til og med 8,7% til «ingen treff», der det sanne sannsynet er 6,5%. Taylor (2021) set binomialfordelinga og normalfordelingskurva side om side på same måten.
Komisk avbrot
Éi økt av tjue ligg utanfor to sigma. Nokon er alltid i halen.
Kjelder
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.