Ruinrisiko

Spørsmålet

Du har a einingarpengarEiningGrunninnsatsen eit system eller ein spelar reknar i. Progresjonar blir skildra i einingar, slik at dei gjeld ved kva bord som helst.Les heile → i spelekassapengarSpelekasseDet samla beløpet som er sett av til spel. Styring av spelekassa er å avgjere kor mykje av ho du risikerer per innsats og per økt.Les heile → og vil nå a + b einingar, med éi eining om gongen på ein 1:1-innsatsinnsats1:1-innsatsRaudt/svart, oddetal/partal, høg/låg. 18 tal, betaler 1:1.Les heile → med sannsynmatematikkSannsynKor sannsynleg eit utfall er, frå 0 til 1 eller frå 0% til 100%. Eitt tal: 1/37 = 2,70%.Les heile → for gevinst p = 18/37 og sannsyn for tap q = 19/37. Kva er sannsynet for at du når målet før du når null? Svaret vart rekna ut av Pascal, Fermat og Huygens på 1650-talet og er eit av dei eldste resultata i sannsynsrekninga.

Blaise Pascal: legenda om ruletthjulet

Formelen for spelarruin

P(nå målet) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). RuinrisikoenmatematikkRuinrisikoSannsynet for å tape heile spelekassa før du når eit mål eller eit tal på spinn.Les heile → er éin minus det. Med q/p = 19/18 ≈ 1,0556 veks forholdet eksponentielt med talet på einingar, så formelen straffar små einingar hardt: di fleire innsatsar det trengst for å nå målet, di fleire gonger blir tollen på 2,70% betalt undervegs.

Slik les du det

Mindre einingar gjer vondt. Å prøve å doble $500 med innsatsar på $10 lukkast 6% av gongene; med éin innsats på $500 lukkast det 48,6% av gongene. Dristig spel, færre og større innsatsar, gjev størst sannsyn for å nå eit mål i eit spel med negativ forventning, fordi det gjer talet på gonger husfordelen verkar, så lite som mogleg. Det gjev òg størst variansmatematikkVariansEit mål på kor breitt resultata spreier seg rundt forventningsverdien. Høg for enkelttal, låg for 1:1-innsatsar.Les heile → i det som hender deg, og det avsluttar kvelden fort. Teoremet heiter «dristig spel er optimalt», og Dubins og Savage provde det i 1965.

Der problemet byrja

Spørsmålet er eldre enn rulett. I 1656 gav Pascal Fermat ei gåte: to spelarar kastar tre terningar, og kvar byrjar med 12 brikker; eit kast på 11 flyttar ei brikke den eine vegen, eit kast på 14 den andre. Begge løyste ho, og Huygens, som høyrde om ho gjennom eit brev frå matematikaren Pierre de Carcavi, trykte ho i 1657 som det femte problemet i den første boka om sannsyn, med svaret og utan prov. Elleve kan kastast på 27 måtar og fjorten berre på 15, så kvar brikke flyttar seg i retning den første spelaren 9 gonger av 14, og formelen over, med 12 brikker kvar, gjer det om lag 1 157 gonger meir sannsynleg at han vinn alt enn at han tapar alt. Ein husfordel på 2,70% er langt mindre, men same formelen viser kva han gjer over mange innsatsar.

Ein verkeleg dristig innsats

I april 2004 selde Ashley Revell, ein ung engelskmann, nesten alt han åtte, medrekna kleda sine, og tok med seg $135 300 til Plaza i Las Vegas. Etter nokre små innsatsar sette han heile beløpet på raudtinnsatsRaudt1:1-innsats på dei 18 raude tala. Fransk: rouge.Les heile →, éin gong. KulautstyrKuleDen vesle kula som blir send langs banen mot rotoren. Moderne kuler er av ivorine eller teflon, 18–21 mm.Les heile → landa på raud 7, og han gjekk derifrå med $270 600. På eit hjul med dobbeltnullhjulNullDen eine grøne lomma som ingen 1:1-innsats, dusininnsats eller kolonneinnsats dekkjer; kjelda til husfordelen. Òg: enkeltnull, 0.Les heile → hadde det eine spinnet eit sannsyn på 47,37% og kosta han $7 121 i gjennomsnitt, husfordelen på 5,26% på éin innsats. Fordelt på innsatsar på $10 ville same målet vore nesten håplaust. Dristig spel gjer ikkje innsatsen god; det gjer han så kort som mogleg.

Ruinrisiko utan mål

Viss du berre speler til du går blakk eller stoppar etter N spinn, blir spørsmålet «kva er sannsynet for at spelekassa mi når null innan N spinn?». Det finst ingen lukka formel for generell N, men simulatorane på denne nettstaden reknar det ut: ei spelekasse på $500 med $10 på raudt går nesten aldri tom på 100 spinn (under 1%), går tom om lag 9% av gongene på 500 spinn, og om lag 95% av gongene på 5 000. Utan stoppregel går sannsynet mot 100%, og det er versjonen av husfordelenmatematikkHusfordelDelen av kvar innsats som kasinoet i gjennomsnitt held på: 2,70% i europeisk rulett.Les heile → i det lange løpet.

Konvergens i det lange løpet: Lova om store tal i rulett

Kor lenge, og kor langt i pluss

To klassiske resultat til svarar på spørsmål spelarar faktisk stiller. Utan mål varer faste 1:1-innsatsar i gjennomsnitt 37 spinn for kvar eining i spelekassa på eit europeisk hjul og 19 på eit amerikansk, fordi kvart spinn i gjennomsnitt tek 1/37 av ei eining (1/19 på eit amerikansk hjul): 100 einingar varer 3 700 spinn i gjennomsnitt, sjølv om halvparten av slike økter er over innan 3 134 (sjå Øktlengd og kostnad). Og uansett kor stor spelekassa er, er sannsynet på eit europeisk hjul for nokon gong å vere k einingar i pluss (18/19)ᵏ. Det er 95% for éi eining og 58% for ti, men inga spelekasse, kor djup ho enn er, gjev eit sannsyn på minst ein halv for nokon gong å vere 13 einingar i pluss; på eit amerikansk hjul er sannsynet (9/10)ᵏ og fell under halvparten ved 7 einingar.

Øktlengd og kostnadAmerikansk rulett: Hjul og reglar

Ei spelekasse for femti prosent sannsyn

Snu spørsmålet: kor mykje må du ta med for å ha minst femti prosent sannsyn for å vinne eit gitt beløp før du tapar alt? For ein liten gevinst ikkje mykje. For ein større stig spelekassa du treng, bratt, og forbi eit visst punkt er inga spelekasse nok, fordi sjølv ei endelaus spelekasse gjev under femti prosent sannsyn for nokon gong å kome så langt i pluss. Taylor (2021) seier det på ein annan måte: på eit amerikansk hjul må du byrje med 94 for å ha femti prosent sannsyn for å nå 100 einingar, altså risikere 94 for å vinne 6. På eit europeisk hjul ville du trenge 88.

Den praktiske lærdommen

Bestem deg for kva du prøver å oppnå. Er målet ein bestemt gevinst, sats stort og få gonger. Er målet ein lang kveld, sats lite og godta at husfordelen tek sine 2,70% av ein stor omsetnadpengarOmsetnadDet samla beløpet som er satsa over ei økt eller ein periode, medrekna gevinstar som blir satsa på nytt. Òg: handle, action.Les heile →. Er målet begge delar, må noko gje etter, og det er som regel målet.

Formel

Spørsmål