Konvergens i det lange løpet: Lova om store tal i rulett
Korleis gjennomsnittet nærmar seg −2,70%, og kvifor det tek lengre tid enn intuisjonen seier.
Gjennomsnittleg tap per spinn konvergerer mot −1/37 etter kvart som spinna hopar seg opp, med ei spreiing som krympar som 1/√N. Etter 1 000 spinn på raudt ligg gjennomsnittet typisk innanfor ±3% av forventinga.
Lova om store tal
Det løpande gjennomsnittet av uavhengige innsatsar går mot forventingsverdienmatematikkForventningsverdiGjennomsnittsresultatet per innsats i det lange løpet. −1/37 av innsatsen for kvar vanleg europeisk innsats.Les heile →. Etter N spinn med 1:1-innsats på éi einingpengarEiningGrunninnsatsen eit system eller ein spelar reknar i. Progresjonar blir skildra i einingar, slik at dei gjeld ved kva bord som helst.Les heile → har gjennomsnittsresultatet per spinn forventinga −1/37 og standardavviketmatematikkStandardavvikKvadratrota av variansen; den typiske avstanden mellom eit resultat og forventningsverdien.Les heile → 1/√N. Ved N = 100 er den spreiinga 10% av innsatsen, nesten fire gonger signalet på 2,7%. Ved N = 1 000 er ho 3,2%, omtrent som signalet. Ved N = 10 000 er ho 1%, og fordelen er tydeleg synleg. Fordelen er usynleg i ei økt og umiskjenneleg i løpet av eit år.
Kva som konvergerer og kva som ikkje gjer det
Gjennomsnittet per spinn konvergerer. Summen gjer det ikkje: han driv lenger frå null når N veks, med omtrent 2,7% av N i forventing, med ei spreiing på √N rundt det. Ein spelar som har spela 10 000 spinn med $10, er venta å liggje $2 700 i minus, pluss minus $1 000. Den løpande delen raudeinnsatsRaudt1:1-innsats på dei 18 raude tala. Fransk: rouge.Les heile → har for lengst stilt seg inn nær 48,65%; den løpande saldoen har ikkje stilt seg inn nokon stad.
- p10 −$440
- p25 −$280
- median −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Kvifor intuisjonen sviktar
Folk ventar at fordelen skal vise seg raskt fordi 2,70% høyrest mykje ut, og ventar at lange seriar skal «jamne seg ut» fordi lova om store talmatematikkLova om store talGjennomsnittet av uavhengige resultat konvergerer mot forventningsverdien når talet på forsøk veks.Les heile → seier at gjennomsnitt konvergerer. Begge intuisjonane bommar på skalaen: fordelen er liten samanlikna med variansenmatematikkVariansEit mål på kor breitt resultata spreier seg rundt forventningsverdien. Høg for enkelttal, låg for 1:1-innsatsar.Les heile → i eitt enkelt spinn (σ = 1 eining mot EV = 0,027), så det tek (1/0,027)² ≈ 1 400 spinn før han blir synleg på eitt sigma. Og konvergensen av gjennomsnittet dreg ikkje summen tilbake; han tynner berre ut tidlegare svingingar.
Konvergens for andre innsatsar
For enkelttalinnsatsEnkelttalEitt enkelt tal, betaler 35:1.Les heile → er σ = 5,84, så den same utrekninga gjev (5,84/0,027)² ≈ 47 000 spinn før fordelen når eitt sigma. Ein spelar på enkelttal kan spele i årevis utan at fordelen kan skiljast frå flaks i eigne notat, medan spelaren betaler nøyaktig dei same 2,70% som spelaren på raudt, som ser han i løpet av veker.
Konsekvens for testing av system
Alle som hevdar at eit system verkar, bør kunne vise det over 10 000 spinn eller fleire med eit dokumentert positivt gjennomsnitt. Ved 1 000 spinn er eit positivt gjennomsnitt på 1:1-innsats ei hending på éi av fem under nullhypotesen; ved 100 spinn er det nesten eit myntkast. Simulatorane på denne nettstaden køyrer 2 000 økter av den lengda du vel, på eit sekund, og det er meir prov enn noko vitnemål.
Formel
Spørsmål
SannsynetmatematikkSannsynKor sannsynleg eit utfall er, frå 0 til 1 eller frå 0% til 100%. Eitt tal: 1/37 = 2,70%.Les heile → for nokon gong å vere i pluss att går mot null di meir du spelar. Summen driv nedover utan grense.
Nei. Ho tyder at tidlegare svingingar blir ein mindre del av eit større utval.
For 1:1-innsats omtrent 10 000 før fordelen er tydeleg synleg. For enkelttal omtrent 50 000.
Matte for moro skuld
Prøv sjølv først. Kvar løysing er bretta saman; opne ho når du er klar.
To vener spelar 20 rundar av eit rettferdig spelmatematikkRettferdig spelEit spel der ingen av sidene har ein fordel: kvar innsats har forventningsverdi null.Les heile →, myntkast eller raudtinnsatsRaudt1:1-innsats på dei 18 raude tala. Fransk: rouge.Les heile → mot svartinnsatsSvart1:1-innsats på dei 18 svarte tala. Fransk: noir.Les heile → der nullanehjulNullDen eine grøne lomma som ingen 1:1-innsats, dusininnsats eller kolonneinnsats dekkjer; kjelda til husfordelen. Òg: enkeltnull, 0.Les heile → gjev innsatsen tilbake, og held ein løpande poengsum. Tel rundane der kvar av dei leiar (likt tel for den som leidde rett før). Kva er mest sannsynleg: at leiinga blir delt 10 rundar mot 10, eller at den eine leiar alle 20?
Vis løysinga
Svar At den eine leiar alle 20 rundane er langt meir sannsynleg: 35,2%, rekna for kven som helst av dei, mot 6,1% for ei jamn deling 10 mot 10.
Sannsynet for at ein rettferdig løpande poengsum står likt etter 2k rundar er u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 etter 10 rundar og 0,176 etter 20. Eit klassisk resultat, arkussinuslova, seier at sannsynet for at ein bestemd ven leiar i nøyaktig 2k av 2n rundar er u(2k) × u(2n − 2k).
Leiing i alle 20: u(20) × u(0) = 0,176 for kvar ven, 35,2% for den eine eller den andre. Ei jamn deling: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, den minst sannsynlege delinga av alle.
I eit rettferdig spel skiftar leiinga altså sjeldan hender. Ein spelar som har lege føre heile kvelden, eller bak heile kvelden, har ikkje sett noko uvanleg, og det seier ingenting om hjulet eller om dugleik. Epstein (2013) gjev den same lova for lengre spel: halvparten av gongene leiar den heldigaste sida i meir enn 85% av spelet.
Komisk avbrot
Gjennomsnittet konvergerer. Summen berre forsvinn.
Kjelder
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.