Gamblarens feilslutning
Trua på at eit resultat «står for tur» fordi det ikkje har kome på ei stund.
Etter ti raude er sannsynet for svart framleis 18/37. Hjulet fører ingen protokoll og skuldar ingenting.
Feilslutninga
Viss raudtinnsatsRaudt1:1-innsats på dei 18 raude tala. Fransk: rouge.Les heile → har kome ti gonger, kjenner mange spelarar at svartinnsatsSvart1:1-innsats på dei 18 svarte tala. Fransk: noir.Les heile → «står for tur», og satsar deretter. Andre kjenner at raudt er «varmt», og satsar på det. Begge resonnerer frå ei følgje som alt er over, til eit spinn som ikkje har skjedd. KulautstyrKuleDen vesle kula som blir send langs banen mot rotoren. Moderne kuler er av ivorine eller teflon, 18–21 mm.Les heile → veit ikkje kva dei ti siste spinna var; lommeneutstyrLommeEitt av dei 37 nummererte romma på rotoren. Òg: spor, kopp.Les heile → er like store som for ein time sidan; sannsynetmatematikkSannsynKor sannsynleg eit utfall er, frå 0 til 1 eller frå 0% til 100%. Eitt tal: 1/37 = 2,70%.Les heile → for svart er 18/37, slik det alltid har vore.
Kvifor det kjennest sant
I det lange løpet går delen raudt og svart faktisk mot 18/37 kvar. Lova om store talmatematikkLova om store talGjennomsnittet av uavhengige resultat konvergerer mot forventningsverdien når talet på forsøk veks.Les heile → garanterer det. Men konvergensen skjer ved uttynning, ikkje ved korrigering: etter 1 000 spinn til er dei ti ekstra raude ein avrundingsfeil i delen, ikkje fordi svart tok att, men fordi utvalet vaks. Det finst ingen mekanisme som gjer svart meir sannsynleg, og lova om store tal krev ingen.
Monte Carlo, 18. august 1913
Svart kom 26 gonger på rad ved eit bord i Casino de Monte-Carlo. Frå om lag den femtande svarte stimla spelarane til raudt, dobla og dobla igjen, kvart spinn «sikrare» enn det førre. Kasinoet vann millionar av franc. Serien hadde eit sannsyn på 1 av 137 millionar frå den første svarte, og sannsynet for at han før eller sidan ville skje ein stad i kasinoa i verda, var i praksis éin. Det er grunnen til at gamblarens feilslutning òg blir kalla Monte Carlo-feilslutninga.
Ikkje noko å merke seg. Skjer éin gong av 44.
Spelarane byrjar å leggje merke til det. Raudt «står for tur».
Det er trongt ved bordet. Innsatsane på raudt blir dobla etter kvart tap.
Formuar tapte. Kvar ny svart får raudt til å kjennast sikrare.
Serien tek slutt. Kasinoet har vunne millionar av franc frå folk som satsa mot ein serie som ikkje kunne «vite» at han var ein serie.
Den varme handa
Å satse på ein farge fordi han er inne i ein serie, er same feilen snudd om: ein ventar at serien skal halde fram i staden for å ta slutt. Psykologar kallar det den varme handamyteVarm handTrua på at ein serie gevinstar, eller av eitt resultat, gjer endå ein meir sannsynleg. Ved hjulet er det gamblarens feilslutning snudd på hovudet.Les heile →, etter ein studie frå 1985 der Gilovich, Vallone og Tversky leita etter seriar i basketballskot og ikkje fann fleire enn tilfeldigheita tilseier. I 2018 viste Miller og Sanjurjo at sjølve testen hadde vore skeiv: i eit kort datasett blir delen treff rett etter eit treff i gjennomsnitt lågare enn den samla treffraten til skyttaren, så ein spelar utan nokon varm hand i det heile ser litt kald ut. Korrigert viser dei same dataa ei moderat varm hand. Eit menneske kan bli varmt; eit hjul har inga form å vere i. Somme spelarar har begge trusene på ein gong: at ein serie held fram til han er «for lang», og så tek slutt. På eit rettferdig hjul har kvar versjon same forventningsverdimatematikkForventningsverdiGjennomsnittsresultatet per innsats i det lange løpet. −1/37 av innsatsen for kvar vanleg europeisk innsats.Les heile → som å velje farge ved å kaste mynt: −2,70% av innsatsen.
Ved eit verkeleg bord
Croson og Sundali (2005) såg gjennom 18 timar med overvakingsvideo frå eitt bord med dobbeltnullhjulNullDen eine grøne lomma som ingen 1:1-innsats, dusininnsats eller kolonneinnsats dekkjer; kjelda til husfordelen. Òg: enkeltnull, 0.Les heile → i eit stort kasino i Reno: 139 spelarar som plasserte 24 131 innsatsar. På 1:1-innsatsaneinnsats1:1-innsatsRaudt/svart, oddetal/partal, høg/låg. 18 tal, betaler 1:1.Les heile → var spelarane om lag likt fordelte mellom dei som følgde korte seriar og dei som gjekk imot dei. Etter fem like på rad heldt dei mot serien, og etter seks eller fleire var 85% av innsatsane deira på den andre sida. Dei same spelarane viste den varme handa om seg sjølve: etter ein gevinst på tala dekte dei i gjennomsnitt 13,6 tal på neste spinn, mot 9,2 etter eit tap. Hjulet deira viste ingen teikn på skeivheit, så ingenting av dette endra kva nokon av dei kunne vente seg.
Utanfor kasinoet
Same draget viser seg der verkelege avgjerder blir tekne. Clotfelter og Cook (1993) følgde det daglege talspelet i Maryland: pengane som vart satsa på eit tal, fall kraftig så snart det var trekt, og det tok månader før dei kom tilbake, sjølv om trekninga ikkje har noko minne. Chen, Moskowitz og Shue (2016) fann det blant fagfolk. Asyldommarar i USA var opptil 3,3 prosentpoeng meir tilbøyelege til å avslå ei sak viss dei hadde innvilga den førre. Baseballdommarar var 1,5 poeng mindre tilbøyelege til å døme strike etter å ha dømt éin, og meir enn dobbelt så mykje på jamne kast. I eit felteksperiment med lånesaksbehandlarar som fekk fast betaling, vart opptil 9% av avgjerdene snudde på denne måten. Sakene kom i tilfeldig rekkjefølgje, så den førre avgjerda sa ingenting om den neste, akkurat som det førre spinnet ikkje seier noko om det neste.
Den omvende gamblarens feilslutning
Filosofen Ian Hacking (1987) sette namn på ein tredje versjon. Nokon kjem inn i eit rom, ser eit par terningar lande på dobbel seks og sluttar at dei må ha vore kasta mange gonger alt. Kvart kast er like sannsynleg dobbel seks, anten det er det første den kvelden eller det tusende, så synet seier ingenting om kor lenge spelet har vart. I rulett er det spelaren som kjem til ei tavle som viser åtte raude, og bestemmer seg for at bordet må ha spunne i timevis for å få det til. Den vanlege feilslutninga les fortida inn i neste spinn; denne les eit sjeldsynt syn inn i ei fortid ingen såg.
Ein psykolog som trudde på det
Feilslutninga har hatt lærde forsvararar. Den tyske psykologen Karl Marbe gjekk gjennom fire register med 49 152 fødslar kvart, fann at den lengste serien av gutar eller av jenter på rad var 17, og slutta at lange seriar er sjeldnare enn tilfeldigheita tillèt, slik at ein serie gjer det andre utfallet meir sannsynleg. Tilfeldigheita åleine seier noko anna: i 196 608 fødslar dukkar ein serie på 17 eller meir opp om lag fire gonger av fem. Marbe hadde funne nøyaktig det ei tilfeldig følgje ser ut som. Epstein (2013) fortel om saka; Sannsyn for seriar gjev rulettversjonen.
Der feilslutninga ikkje gjeld
Viss hjulet var fysisk skeivt, ville tidlegare spinn gje informasjon, fordi dei ville vere prov om lommene og ikkje om flaks. Det er emnet for laboratoriet, og det krev tusenvis av spinn frå eitt bestemt hjul før ein kan seie noko. For ein serie på ti raude på eit ukjent hjul er skeivheit ei langt mindre sannsynleg forklaring enn tilfeldigheit.
Spørsmål
Nei. Ho gjeld kvar uavhengig hending som blir gjentatt: terningar, myntar, lottotal.
Delane vil kome nær kvarandre. Resultatet ditt vil framleis vere om lag −2,70% av det du satsa.
Det finst inga gjennomsnittslov. Det finst ei lov om store tal, og ho verkar ved uttynning.
Matte for moro skuld
Prøv sjølv først. Kvar løysing er bretta saman; opne ho når du er klar.
Etter 10 kast viser ein mynt 7 kron og 3 mynt. Etter 1 000 kast viser han 517 kron og 483 mynt. Tok mynt att kron?
Vis løysinga
Svar Nei. Skilnaden voks frå 4 til 34. Berre forholdet kom nærare likt.
Forholdet mellom kron og mynt fall frå 7/3, om lag 2,33, til 517/483, om lag 1,07. Det er lova om store talmatematikkLova om store talGjennomsnittet av uavhengige resultat konvergerer mot forventningsverdien når talet på forsøk veks.Les heile → i verksemd.
Skilnaden mellom dei voks, frå 4 til 34. Med ein rettferdig mynt er ein skilnad på rundt 30 etter 1 000 kast heilt vanleg: den typiske skilnaden veks om lag med kvadratrota av talet på kast, medan forholdet nærmar seg 1.
Ingenting drog mynt tilbake. Overskotet av kron tidleg vart tynna ut av dei neste 990 kasta, ikkje retta opp.
Kast ein mynt fire gonger og sjå berre på kasta som kjem rett etter kron. Kor stor del av dei er kron? Rekn det ut for kvar av dei 16 moglege sekvensane og ta gjennomsnittet av delane. Er det 50%?
Vis løysinga
Svar Nei. Det er 17/42, om lag 40,5%. Sett på denne måten ser ein rettferdig mynt ut til å bli kald etter kron.
Skriv opp dei 16 sekvensane (K for kron, M for mynt). To av dei, MMMM og MMMK, har inga kron blant dei tre første kasta, så ingenting kjem etter kron; då er 14 att.
I kvar av dei: ta kasta som kjem etter kron og finn delen som er kron. KKKK gjev 3 av 3. KKKM gjev 2 av 3. KMKM gjev 0 av 2. Går du gjennom alle 14: seks sekvensar gjev 0, fire gjev 1/2, éin gjev 2/3 og tre gjev 1 (KKKK, MKKK og MMKK).
Legg saman delane: 4 × 1/2 + 2/3 + 3 = 17/3. Del på 14: 17/42 ≈ 40,5%.
Ingen kast favoriserer mynt; kvart er 50–50. Skeivheita kjem av at ein tek gjennomsnittet sekvens for sekvens: ein sekvens full av kron har mange kast å sjå på, men tel éin gong, like mykje som ein sekvens med berre eitt. Miller og Sanjurjo (2018) viste at hot hand-studien frå 1985 hadde målt basketballspelarane sine på denne måten, så spelarar som ikkje såg ut til å ha fleire seriar enn tilfeldig, i røynda hadde noko fleire.
Komisk avbrot
Uttynning, ikkje korrigering. Hjulet skuldar ingenting.
Kjelder
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Schwartz, D. G. Roll the Bones: The History of Gambling.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Croson, R. & Sundali, J. “The gambler’s fallacy and the hot hand: empirical data from casinos.”
- Chen, D. L., Moskowitz, T. J. & Shue, K. “Decision making under the gambler’s fallacy: evidence from asylum judges, loan officers, and baseball umpires.”
- Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. “The ‘gambler’s fallacy’ in lottery play.”
- Gilovich, T., Vallone, R. & Tversky, A. “The hot hand in basketball: on the misperception of random sequences.”
- Miller, J. B. & Sanjurjo, A. “Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers.”
- Hacking, I. “The inverse gambler’s fallacy: the argument from design. The anthropic principle applied to Wheeler universes.”