Oppgåve: Bursdagshjulet
Kor mange spinn går det før eit tal kjem att? Langt færre enn dei fleste gjettar.
Bursdagsproblemet på eit hjul med 37 lommerutstyrLommeEitt av dei 37 nummererte romma på rotoren. Òg: spor, kopp.Les heile →: etter berre 8 spinn er det meir sannsynleg enn ikkje at eit tal alt har kome to gonger. Spelarar les gjentakingar som mønster; dei er forventa åtferd for eit rettferdig hjul.
Oppgåva
Spinn eit rettferdig europeisk hjul. Kor mange spinn går det før sannsynetmatematikkSannsynKor sannsynleg eit utfall er, frå 0 til 1 eller frå 0% til 100%. Eitt tal: 1/37 = 2,70%.Les heile → for at minst to spinn har vist same tal, går over ein halv? Dei fleste spelarar gjettar på rundt 18 eller 19, halvparten av 37. Svaret er 8.
Løysinga
Rekn ut sannsynet for inga gjentaking og trekk det frå éin. Etter k spinn er p(alle ulike) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). For k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, så p(ei eller anna gjentaking) ≈ 0,56. For k = 14 er det 0,93; for k = 20 er det 0,996. Intuisjonen sviktar fordi talet på par av spinn veks som k², og kva par som helst kan stemme overeins.
Kvifor det betyr noko ved bordet
Ei resultattavle med dei siste 20 tala vil nesten alltid vise minst éi gjentaking, ofte to eller tre. Spelarar ser «17 kom to gonger på ti spinn» og konkluderer med at 17 er varmt. Bursdagsutrekninga seier at ei gjentaking innan ti spinn skjer 74% av gongene, og at det gjentekne talet er tilfeldig. Mønsteret er ekte, men tydinga er det ikkje.
Oppfølgingsoppgåva
Kor mange spinn går det før eit bestemt tal, seie 17, har kome to gonger? Det er eit anna spørsmål med eit mykje større svar: forventa ventetid er 74 spinn, og sannsynet for to 17-tal innan 20 spinn er omtrent 10%. Skilnaden mellom «eit eller anna tal kjem att» (8 spinn) og «dette talet kjem att» (74 spinn) er heile skilnaden mellom eit mønster du legg merke til i ettertid og ein prediksjon du gjer på førehand.
Prøv sjølv
Køyr Demospelet i ti spinn og sjå på historikken. Vanlegvis blir det ei gjentaking. Køyr det på nytt. Det gjentekne talet blir eit anna. Gjer dette ti gonger, så har du sett bursdagsproblemetmatematikkBursdagsproblemetKor mange personar som skal til før to sannsynlegvis har same bursdag, eller kor mange spinn før eit tal sannsynlegvis kjem att. På eit hjul med 37 lommer er 8 spinn nok til at sannsynet blir større enn éin av to.Les heile →. Gjer det tusen gonger (det kan simulatorane), så har du målt det.
Formel
Spørsmål
Nøyaktig, med 37 lommer i staden for 365 dagar. 23 personar gjev 50% for bursdagar; 8 spinn gjev 56% for hjulet.
50% etter omtrent 19 spinn. Framleis rutine.
Nei. Tusenvis av spinn frå eitt hjul kunne ha gjort det; ei gjentaking gjer det aldri.
Matte for moro skuld
Prøv sjølv først. Kvar løysing er bretta saman; opne ho når du er klar.
Ei resultattavle ved eit amerikansk hjul viser dei 16 siste spinna. Kor sannsynleg er det at ikkje noko tal står der to gonger?
Vis løysinga
Svar Om lag 2,5%: om lag 39 tavler av 40 viser minst éi gjentaking.
Gå spinn for spinn. Det første spinnet kan bli kva som helst. Det andre må bomme på det: 37 sjansar av 38. Det tredje må bomme på begge: 36 av 38. Det sekstande må bomme på femten tal: 23 av 38.
Gong saman: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Ei tavle utan gjentaking er den sjeldne. Ei tavle med ei gjentaking seier ingenting om hjulet.
Kva er sannsynet for at 17 kjem nøyaktig fem gonger i ti spinn på eit europeisk hjul? At eit eller anna tal, kva tal som helst, kjem fem eller fleire gonger? Og at eit eller anna tal kjem minst tre gonger i fire spinn?
Vis løysinga
Svar 17 nøyaktig fem gonger: 1 av 315 576. Eit eller anna tal fem eller fleire gonger: om lag 1 av 8 333. Eit eller anna tal tre eller fleire gonger i fire spinn: 1 av 349.
17 fem gonger: vel kva for fem av dei ti spinna, 252 måtar, kvar med sannsynet (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Til saman 1 av 315 576.
Eit kva som helst tal: kvart av dei 37 tala har eit sannsyn på 1 av 308 325 for fem eller fleire treff, som gjev 37 av 308 325, eller 1 av 8 333. Det sjeldne tilfellet med to tal som begge har fem treff, blir talt to gonger, men å ta det ut endrar ingenting med denne presisjonen.
Tre gonger på fire spinn: for eitt tal er 4 × 36 + 1 = 145 av dei 37⁴ moglege resultata; for kva som helst av dei 37 tala er det 145/37³ = 1 av 349.
For eit hjul med dobbeltnullhjulNullDen eine grøne lomma som ingen 1:1-innsats, dusininnsats eller kolonneinnsats dekkjer; kjelda til husfordelen. Òg: enkeltnull, 0.Les heile → er dei tilsvarande tala 1 av 359 275, 1 av 9 243 og 1 av 368. Avstanden mellom «17» og «eit kva som helst tal» er bursdagsproblemetmatematikkBursdagsproblemetKor mange personar som skal til før to sannsynlegvis har same bursdag, eller kor mange spinn før eit tal sannsynlegvis kjem att. På eit hjul med 37 lommer er 8 spinn nok til at sannsynet blir større enn éin av to.Les heile → att: det finst 37 måtar å bli overraska på.
Komisk avbrot
Noko kjem att tidleg. Kva det er, er tilfeldig.
Kjelder
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, roulette questions.