Sannsynet for seriar i rulett
Lange seriar av éin farge er vanlege. Dei er òg utan tyding for neste spinn.
Fem raude på rad: 2,7%. Ti: 0,074%. I ei økt på 200 spinn dukkar ein serie på seks av éin farge opp oftare enn ikkje.
Kor ofte ein tapsserie kjem
Ein 1:1-innsats på eit hjul med éin null tapar 19 spinn av 37. Kvar rad viser sannsynet for at eit gjeve tal spinn på rad alle tapar, og kva ein Martingale-spelar, som doblar etter kvart tap, har tapt innan då.
| tap på rad | sannsyn | omtrent 1 av | tapt hittil | neste innsats |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1 023 | $1 024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2 047 | $2 048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4 095 | $4 096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8 191 | $8 192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16 383 | $16 384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32 767 | $32 768 |
Sannsynet er 19/37 gonga med seg sjølv éin gong per tap, rekna frå eitt gjeve spinn. Ei lang økt har mange spinn der ein slik serie kan byrje, så i løpet av ein kveld er han langt meir sannsynleg enn éi rad tyder på.
Éin serie
SannsynetmatematikkSannsynKor sannsynleg eit utfall er, frå 0 til 1 eller frå 0% til 100%. Eitt tal: 1/37 = 2,70%.Les heile → for at dei neste k spinna alle blir raudeinnsatsRaudt1:1-innsats på dei 18 raude tala. Fransk: rouge.Les heile →, er (18/37)ᵏ. To: 23,7%. Fem: 2,7%. Ti: 0,074%, om lag 1 av 1 350. Tjue: 1 av 1,8 millionar. Tjueseks, rekorden frå Monte Carlo: 1 av 137 millionar. Dette er sannsyna for ein bestemt serie som byrjar på eit bestemt spinn, og det er spørsmålet nesten ingen faktisk stiller.
I ei økt
Spørsmålet folk meiner, er «kjem det ein serie på k ein stad i økta mi?», og svaret er langt større enn (18/37)ᵏ fordi ei økt på 200 spinn gjev nesten 200 stader der ein serie kan byrje. Ein serie på seks eller fleire av same fargen, raudt eller svartinnsatsSvart1:1-innsats på dei 18 svarte tala. Fransk: noir.Les heile →, dukkar opp i ei økt på 200 spinn om lag 94% av gongene; åtte eller fleire om lag 47%; ti eller fleire om lag 14%. Vel fargen på førehand, og sjansane fell, til om lag 75%, 27% og 7%. Ein spelar som sit ein heil kveld, vil sjå lange seriar kvar kveld.
Kvifor Martingale bryr seg
Kvar negativ progresjonstrategiProgresjonKvar regel som endrar innsatsen ut frå tidlegare resultat. Negative progresjonar aukar han etter tap, positive etter gevinstar.Les heile → har ei serielengd som bryt han: seks tap frå ein grunninnsats på $10 ved ei grense på $500, ti for FibonaccistrategiFibonacciProgresjon som følgjer følgja 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: eitt steg fram etter eit tap, to steg tilbake etter ein gevinst.Les heile →, fem for tredobling på dusininnsatsDusin1–12, 13–24 eller 25–36, betaler 2:1.Les heile →. Sannsynet for ein tapsserie på seks på ein 1:1-innsats er (19/37)⁶ ≈ 1,8% per forsøk, og ei økt på 200 spinn inneheld kanskje 100 forsøk, så brotet kjem i om lag fire av fem økter av den lengda. Sannsynet for seriar i rulett er grunnen til at stupet ikkje er sjeldan.
Varme og kalde tal
Same aritmetikken gjeld for enkelttalinnsatsEnkelttalEitt enkelt tal, betaler 35:1.Les heile →. På 300 spinn er det forventa talet treff per tal 8,1; standardavviketmatematikkStandardavvikKvadratrota av variansen; den typiske avstanden mellom eit resultat og forventningsverdien.Les heile → er om lag 2,8. Eit eller anna tal vil vise 15 treff og eit anna 2 berre ved tilfeldigheit, kvar gong. Ei resultattavle som framhevar «varme» tal, framhevar toppen av ei normalfordeling. Laboratoriet forklarer kor mange spinn det trengst før eit varmt talmyteVarmt talEit tal som i det siste har kome oftare enn venta. På eit rettferdig hjul føreseier det ingenting.Les heile → tyder noko som helst (tusenvis, frå eitt bestemt hjul).
Uavhengigheit er heile poenget
Ein serie på ti raude gjer ikkje svart meir sannsynleg, og han gjer ikkje raudt meir sannsynleg heller. Begge er 18/37. Seriar er ein eigenskap ved tilfeldige følgjer, og det ville vore mistenkeleg om dei mangla: ei følgje på 200 spinn utan nokon serie lengre enn fire ville vore eit langt sterkare prov på juks enn ei med ein serie på tolv.
Formel
Spørsmål
26 svarte i Monte Carlo 18. august 1913 er den kjende. 32 raude på rad vart rapportert frå eit amerikansk kasino i 1943. Begge er i tråd med tilfeldigheit, gitt kor mange spinn kasino køyrer.
Det er 18/37 uansett. Sats det planen din seier, eller ingenting.
Nei. Skeivheit viser seg ved at nokre lommerutstyrLommeEitt av dei 37 nummererte romma på rotoren. Òg: spor, kopp.Les heile → treffer oftare over tusenvis av spinn, ikkje som seriar av éin farge.
Matte for moro skuld
Prøv sjølv først. Kvar løysing er bretta saman; opne ho når du er klar.
Kor mange spinn på eit europeisk hjul tek det i gjennomsnitt før kvart einaste av dei 37 tala har kome minst éin gong?
Vis løysinga
Svar Om lag 155 spinn i gjennomsnitt; medianen er 147.
Tel ventetida eitt nytt tal om gongen. Det første spinnet viser alltid eit nytt tal. Når du har sett 1 tal, er 36 lommerutstyrLommeEitt av dei 37 nummererte romma på rotoren. Òg: spor, kopp.Les heile → av 37 nye, så det neste nye talet tek 37/36 spinn i gjennomsnitt. Når du har sett k tal, tek det 37/(37 − k).
Legg saman ventetidene: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 spinn.
Det meste av det er slutten. Det siste talet åleine tek 37 spinn i gjennomsnitt, og dei fem siste om lag 85. På eit amerikansk hjul gjev den same summen om lag 161. Dette er kupongsamlarproblemet; det same gjennomsnittet fylgjer av standardutrekninga.
Kor mange ulike tal kan du vente å sjå i 37 spinn på eit europeisk hjul, eitt spinn for kvar lomme?
Vis løysinga
Svar Om lag 23,6. Omtrent ein tredjedel av tala, om lag 13, kjem ikkje i det heile.
Ta eitt tal, til dømes 17. På kvart spinn uteblir det med sannsynet 36/37, så det bommar på alle 37 spinna med sannsynet (36/37)³⁷ ≈ 0,363.
Kvart tal har det same sannsynet, så i gjennomsnitt manglar 37 × 0,363 ≈ 13,4 tal, og 37 − 13,4 ≈ 23,6 kjem, mange av dei to gonger eller meir.
Rulettspelarar kallar dette tredjedelslova. Det er inga lov, berre aritmetikken i gjentakingar: i ein serie like lang som hjulet står om lag ein tredjedel av tala over, på eit rettferdig hjul som på kva anna hjul som helst. På 38 lommer er delen òg (37/38)³⁸ ≈ 0,363; for eit stort hjul nærmar han seg 1/e ≈ 0,368.
Ein ven viser deg to lister med 50 fargar, raudinnsatsRaudt1:1-innsats på dei 18 raude tala. Fransk: rouge.Les heile → eller svartinnsatsSvart1:1-innsats på dei 18 svarte tala. Fransk: noir.Les heile →, som begge skal kome frå eit hjul der nullanehjulNullDen eine grøne lomma som ingen 1:1-innsats, dusininnsats eller kolonneinnsats dekkjer; kjelda til husfordelen. Òg: enkeltnull, 0.Les heile → er tekne ut. Den eine skiftar farge 25 gonger, og den lengste serien er seks. Den andre skiftar 35 gonger og går aldri lenger enn tre. Kva for ei er dikta opp?
Vis løysinga
Svar Den andre. Ei ekte liste skiftar om lag 24 eller 25 gonger. Ei med 35 skift dukkar opp om lag éin gong av 500 lister, og ei utan serie lenger enn tre om lag to gonger av 100.
Kvar ny farge gjentek anten den førre eller skiftar, halvt om halvt, så 49 sjansar til å skifte gjev 24,5 skift i gjennomsnitt, pluss minus om lag 3,5. Trettifem er tre slike steg over gjennomsnittet; eit rettferdig hjul gjev så mange skift om lag éin gong av 500 lister.
Seriane fortel det same. Ei ekte liste på 50 har ein serie på fire eller meir om lag 98% av gongene, og den lengste serien hennar er oftast fem eller seks.
Folk som blir bedne om å dikte opp ei tilfeldig liste, skiftar for ofte, fordi ein serie på fire eller fem ser ut som eit mønster for dei. Taylor (2021) viser det same kjenneteiknet i lister over myntkast som studentar har dikta opp: ekte tilfeldigheit har fleire seriar enn folk ventar.
Ei bok med kasinohistorier fortel om ein spelar som fekk talet sitt fem gonger på rad, og kallar det ein rekord. Kor sjeldsynt er det på eit europeisk hjul? Og kor ofte bør det skje ein eller annan stad i eitt kasino med 20 bord, som kvart spinn 40 gonger i timen, dag og natt?
Vis løysinga
Svar Eit på førehand valt tal fem gonger på rad: 1 av 69 millionar. Eit kva som helst tal som kjem fire gonger til etter at det kom første gong: 1 av 1,87 millionar. Det kasinoet spinn om lag 7 millionar gonger i året, så det bør sjå ein serie på fem tre eller fire gonger i året.
Eit på førehand valt tal kjem med sannsynet 1/37 på kvart spinn, så fem på rad har sannsynet (1/37)⁵ = 1 av 69 343 957. Men ingen vel talet på førehand. Kva som enn kjem først, må dei neste fire spinna gjenta det: (1/37)⁴ = 1 av 1 874 161.
20 bord × 40 spinn × 24 timar × 365 dagar = 7 008 000 spinn i året. Kvart spinn kan starte ein serie, så kasinoet kan vente seg 7 008 000/1 874 161 ≈ 3,7 seriar på fem i året.
Det finst ingen offisiell rekord av dette slaget, og det trengst ingen: ei sjeldsynt hending ved eitt bord er ei vanleg hending over eit heilt kasino, og historiene blir fortalde om bordet der det skjedde. Historia, i Goldman (2007), går føre seg på eit hjul med dobbeltnull, der tala er 1 av 79 millionar og 1 av 2,09 millionar.
Komisk avbrot
Lange seriar er slik tilfeldigheit ser ut.
Kjelder
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.