Oppgåve: Bordgrensa
Ein Martingale på $10 ved eit bord med grense $500. Kor ofte bryt han saman, kor mykje tapar han når det skjer, og hjelper det å heve grensa?
Seks tap på rad bryt han: 1,8% per syklus, omtrent 60% av øktene på 100 spinn. Brotet kostar $630. Å heve grensa til $5 000 gjer brotet sjeldnare (0,25% per syklus) og større ($5 110). Det forventa tapet per satsa dollar er 2,70% ved kva grense som helst.
Oppgåva
Ein spelar satsar $10 på raudtinnsatsRaudt1:1-innsats på dei 18 raude tala. Fransk: rouge.Les heile → og doblar etter kvart tap, og byrjar på nytt etter ein gevinst. Maksimum ved bordet er $500. (a) Kor mange tap på rad bryt progresjonenstrategiProgresjonKvar regel som endrar innsatsen ut frå tidlegare resultat. Negative progresjonar aukar han etter tap, positive etter gevinstar.Les heile →? (b) Kva er sannsynetmatematikkSannsynKor sannsynleg eit utfall er, frå 0 til 1 eller frå 0% til 100%. Eitt tal: 1/37 = 2,70%.Les heile → per syklus? (c) Kva blir tapt ved brotet? (d) Korleis endrar ei grense på $5 000 svara? (e) Gjer nokon grense systemet lønsamt?
Løysingar (a)–(c)
Innsatsar: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Den sjuande ville ha vore 640 > 500, så seks tap bryt han. (b) p(tap) = 19/37 på raudt; (19/37)⁶ = 0,0183, omtrent 1,8% per syklus. Ein syklus varer omtrent to spinn i gjennomsnitt, så ei økt på 100 spinn har omtrent 50 syklusar og p(minst eitt brot) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, som er 63 einingarpengarEiningGrunninnsatsen eit system eller ein spelar reknar i. Progresjonar blir skildra i einingar, slik at dei gjeld ved kva bord som helst.Les heile → av grunninnsatsen, mot dei $10 syklusen prøvde å vinne.
Løysing (d)
Ved $5 000: innsatsar opp til 2 560 er tillatne; den tiande innsatsen, 5 120, blir avvist. Ni tap bryt han: (19/37)⁹ ≈ 0,25% per syklus, omtrent 11% av øktene på 100 spinn. Tap ved brotet: 10 + 20 + … + 2 560 = $5 110. Spelaren har kjøpt ein sjeldnare katastrofe til prisen av ein større. Over mange økter er dei forventa kostnadene ved brot p × tap ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 per syklus ved grensa på $500 og 0,0025 × 5 110 = $12,8 ved $5 000. Innanfor avrunding er det same tal, og det er det forventa tapetmatematikkForventa tapForventningsverdien gonger samla innsatsbeløp; det gjennomsnittlege beløpet som går tapt over ei økt eller ein periode.Les heile → for syklusen pluss dei $10 dei vinnande syklusane tener.
Løysing (e)
Nei. Forventa tap per syklus = (forventa total innsats i syklusen) / 37, ved kva grense som helst, fordi kvar innsats er −1/37 åleine. Grensa avgjer berre korleis tapet blir fordelt mellom mange små gevinstar og få store tap. Utan grense og med uendeleg spelekassepengarSpelekasseDet samla beløpet som er sett av til spel. Styring av spelekassa er å avgjere kor mykje av ho du risikerer per innsats og per økt.Les heile → ville progresjonen «verke», i den forstand at han aldri ville bryte saman, og han ville òg ha satsa eit uavgrensa beløp med forventa tap på 2,70% av dette uavgrensa beløpet. BordgrensabordBordgrenseTillaten minsteinnsats og maksimumsinnsats. Maksimumsinnsatsen er det som stoppar progresjonar med dobling.Les heile → er ikkje det som hindrar MartingalestrategiMartingaleProgresjon som doblar innsatsen etter kvart tap. Sjå seksjonen Strategi for kva han gjer og ikkje gjer.Les heile →-systemet i å verke. Aritmetikken gjer det.
To ekte bord
Eksempelet til Thorp er eit bord med $1 som minimum og $1 000 som maksimum, der ein spelar håpar å vinne $30 til middagen, éin dollar om gongen. Innsatsane 1, 2, 4 … 512 gjev ti innsatsar, så ti tap på rad bryt progresjonen: éin gong per 785 syklusar på eit europeisk hjul (éin gong per 613 på eit amerikansk), til ein kostnad av $1 023. Alle tretti syklusane lukkast 96,2% av gongene. Dei resterande 3,8% tapar omtrent $1 000, og det gjennomsnittlege resultatet for kvelden er −$9,17, som er nøyaktig 1/37 av dei $339 dei tretti syklusane i gjennomsnitt satsar. Eit bord med $5 som minimum og $2 000 som maksimum er ikkje annleis: innsatsar opp til $1 280 gjev ni innsatsar, og brotet kjem éin gong per 403 syklusar på eit europeisk hjul (éin gong per 323 på eit amerikansk) og kostar $2 555.
Ein rik spelar
Gje progresjonen ei djup spelekasse i staden for ei låg grense: 1 000 einingar, ein grunninnsats på éi eining og 1 000 spinn på raudt, og byrj på nytt med éi eining kvar gong neste dobling er større enn det som er att. Vi simulerte ein million slike kveldar. På eit europeisk hjul endar 52% i pluss, 21% tapar alt, og det gjennomsnittlege resultatet er −124 einingar. Sjølv i eit spel utan nullhjulNullDen eine grøne lomma som ingen 1:1-innsats, dusininnsats eller kolonneinnsats dekkjer; kjelda til husfordelen. Òg: enkeltnull, 0.Les heile →, der kvar innsats er rettferdig, ville berre omtrent 60% ha enda i pluss. Den vanlege kvelden gjev ein liten gevinst; gjennomsnittet blir betalt av kveldane som endar på null.
Lærdomen
Kasino set grenser for å avgrense sin eigen variansmatematikkVariansEit mål på kor breitt resultata spreier seg rundt forventningsverdien. Høg for enkelttal, låg for 1:1-innsatsar.Les heile →, ikkje for å slå system. At Martingale blir slått, er ein bieffekt dei gjerne tek imot, og aritmetikken ville ha slått han uansett. Ein spelar som meiner at grensa er problemet, har funne stupet og teke det for skråninga.
Formel
Spørsmål
Ho lèt deg overleve opp til ei høgare grense, der brotet er sjeldnare og større. Det forventa tapet per dollar er uendra.
Innsatsar 10, 30, 70, 150, 310: grensa på $500 blir nådd etter fem tap, og brotet kostar $570. Same 2,70%.
Slik at éin spelar ikkje kan satse meir enn reservane til kasinoet trygt kan betale ut. Styring av varians.
Matte for moro skuld
Prøv sjølv først. Kvar løysing er bretta saman; opne ho når du er klar.
Ein MartingalestrategiMartingaleProgresjon som doblar innsatsen etter kvart tap. Sjå seksjonen Strategi for kva han gjer og ikkje gjer.Les heile → byrjar på $100 på raudtinnsatsRaudt1:1-innsats på dei 18 raude tala. Fransk: rouge.Les heile → og tillèt seg høgst n innsatsar per syklus: etter n tap på rad gjev han opp og byrjar på nytt. Skriv gjennomsnittsresultatet for éin syklus som ein formel i n, og rekn det ut for 5, 6 og 7 innsatsar på eit europeisk hjul.
Vis løysinga
Svar Gjennomsnittet er 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 for 5 innsatsar, −$17,35 for 6 og −$20,52 for 7. Fleire tillatne innsatsar gjer den gjennomsnittlege syklusen verre, ikkje betre.
Ein syklus vinn $100 med mindre alle n innsatsane tapar, noko som skjer med sannsynet qⁿ, der q = 19/37. Når alle tapar, blir innsatsane 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ til saman 100 × (2ⁿ − 1). Gjennomsnittet er altså 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Her er 2q = 38/37, litt meir enn 1, så (2q)ⁿ veks med n og gjennomsnittet fell: n = 5 gjev 1,1426 og −$14,26; n = 6 gjev 1,1735 og −$17,35; n = 7 gjev 1,2052 og −$20,52. Ein lengre stige tapar sjeldnare, i 3,6%, 1,8% og 0,9% av syklusane, men kvart tap er dobbelt så stort, og meir pengar går over bordet i kvar syklus, med 2,70% av kvar innsats.
På eit amerikansk hjul er 2q = 40/38, og tala er −$29,24, −$36,04 og −$43,20 (Taylor, 2021). I eit spel utan nullhjulNullDen eine grøne lomma som ingen 1:1-innsats, dusininnsats eller kolonneinnsats dekkjer; kjelda til husfordelen. Òg: enkeltnull, 0.Les heile → er 2q = 1, og kvar syklus gjev i gjennomsnitt nøyaktig null, uansett kor lang stigen er.
«Grand Martingale» doblar innsatsen etter eit tap og legg til éi einingpengarEiningGrunninnsatsen eit system eller ein spelar reknar i. Progresjonar blir skildra i einingar, slik at dei gjeld ved kva bord som helst.Les heile →, så innsatsane blir 1, 3, 7, 15, 31 … Kor mykje er du i pluss når den første gevinsten kjem på 1., 2., 3. eller k-te innsats? Med ei eining på $10 og eit maksimum på $500, kor ofte bryt ein syklus saman, og kva kostar ein syklus i gjennomsnitt?
Vis løysinga
Svar Ein gevinst på den k-te innsatsen gjev deg k einingar i pluss: +1, +2, +3 og så vidare. Med $10 og $500 bryt syklusen saman etter fem tap, i 3,57% av syklusane, for −$570. I gjennomsnitt tapar ein syklus $2,32 av $85,73 satsa: 2,70%.
Den k-te innsatsen er 2ᵏ − 1 einingar: 1, 3, 7, 15, 31. Dei k − 1 første innsatsane blir til saman 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Ein gevinst på den k-te innsatsen betaler 2ᵏ − 1, så syklusen endar (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k einingar i pluss: éi ekstra eining for kvart tap før gevinsten.
Med $10 per eining er innsatsane $10, $30, $70, $150 og $310; den neste, $630, er over maksimum på $500. Fem tap på rad, (19/37)⁵ = 3,57%, kostar 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Gjennomsnitt: gevinstane gjev $10 × k med sannsynet (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 for k = 1 til 5, og brotet tek $570 med sannsynet 3,57%; til saman −$2,32. Pengane som blir satsa, er i gjennomsnitt $85,73 per syklus, og 2,32/85,73 = 2,70%. Den vanlege Martingale ved det same bordet bryt saman etter seks tap, i 1,83% av syklusane, for −$630, og tapar $1,74 av $64,20 satsa: 2,70% igjen.
Ein spelar planlegg ein Martingale på raudt med $1 som første innsats ved eit bord med grense på $1 000, så ti innsatsar er moglege: $1, $2, $4 og så vidare opp til $512. Kor ofte tapar ein syklus alle ti, kor lang tid tek det i gjennomsnitt før det skjer, og kor ofte endar ein kveld med 200 innsatsar slik?
Vis løysinga
Svar Ein syklus tapar alle ti om lag éin gong av 784, og det kostar $1 023. Det er om lag 1 600 innsatsar i gjennomsnitt, og ein kveld med 200 innsatsar går i veggen om lag 11% av gongene. Ein syklus tapar likevel $0,31 i gjennomsnitt av $11,31 satsa: 2,70%.
Ein innsats på raudt tapar med sannsynet 19/37, nullen medrekna. Ti på rad: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, om lag 1 av 784. Innsatsane 1 + 2 + 4 + … + 512 blir til saman $1 023.
Ein syklus tek 2,05 innsatsar i gjennomsnitt, så 784 syklusar tek om lag 1 600 innsatsar. Rekna spinn for spinn dukkar ein serie på ti tap opp ein stad i 200 innsatsar 11,3% av gongene.
Mellom katastrofane vinn spelaren $1 per syklus: om lag $783 før den dårlege, så −$1 023, om lag −$240 over heile strekket. Per syklus: 1 × (1 − 0,00128) − 1 023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Pengar satsa per syklus: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. Og −0,31/11,31 = −2,70%.
Samanlikn med $10 som første innsats ved ei grense på $500, seks innsatsar: veggen kjem éin gong av 55 syklusar, og ein kveld med 200 innsatsar møter han 84% av gongene. Ei høgare grense gjer krasjet sjeldnare og større, ikkje billegare.
Komisk avbrot
Sjeldnare og større, ved kva grense som helst. Produktet er konstant.
Kjelder
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.